Wzory, które trzeba znać na pamięć
Definicja i dziedzina
Logarytm $\log_a b = c$ oznacza, że $a^c = b$. Podstawa musi spełniać $a > 0$ oraz $a \ne 1$, a liczba logarytmowana $b > 0$. Te warunki tworzą dziedzinę równań i nierówności z logarytmami, więc zapisuj je na początku każdego zadania, zanim cokolwiek przekształcisz.
Własności działań
Dla dodatnich liczb $x$ i $y$ oraz poprawnej podstawy $a$ obowiązują trzy równości: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ oraz $\log_a x^n = n \log_a x$. Dochodzi wzór na zmianę podstawy $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$, który pozwala sprowadzić różne podstawy do wspólnej.
Pięć zadań z pełnym rozwiązaniem
Zadanie 1, suma i różnica logarytmów
Oblicz $\log_2 48 - \log_2 3$.
Krok 1. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu: $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{48}{3}$.
Krok 2. Dzielimy: $\dfrac{48}{3} = 16$.
Krok 3. Zapisujemy $16 = 2^4$, więc $\log_2 16 = 4$.
Odpowiedź: $4$.
Zadanie 2, zmiana podstawy
Oblicz $\log_3 5 \cdot \log_5 9$.
Krok 1. Zamieniamy drugi logarytm na podstawę $3$: $\log_5 9 = \dfrac{\log_3 9}{\log_3 5}$.
Krok 2. Mnożymy: $\log_3 5 \cdot \dfrac{\log_3 9}{\log_3 5} = \log_3 9$.
Krok 3. Ponieważ $9 = 3^2$, mamy $\log_3 9 = 2$.
Odpowiedź: $2$. Rachunek jest krótki, bo $\log_3 5$ się skraca. Warto dostrzec ten wzorzec, gdy w iloczynie pojawia się odwrotność podstaw.
Zadanie 3, równanie logarytmiczne
Rozwiąż równanie $\log_2 (x - 1) + \log_2 (x + 1) = 3$.
Krok 1. Ustalamy dziedzinę: $x - 1 > 0$ oraz $x + 1 > 0$, czyli $x > 1$.
Krok 2. Łączymy logarytmy: $\log_2 \big((x - 1)(x + 1)\big) = 3$, czyli $\log_2 (x^2 - 1) = 3$.
Krok 3. Z definicji $x^2 - 1 = 2^3 = 8$, więc $x^2 = 9$.
Krok 4. Mamy $x = 3$ albo $x = -3$. Dziedzina wymaga $x > 1$, więc odrzucamy $x = -3$.
Sprawdzenie: $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$. Odpowiedź: $x = 3$.
Zadanie 4, logarytm dziesiętny
Oblicz $\log 4 + \log 25$, gdzie $\log$ oznacza logarytm o podstawie $10$.
Krok 1. Łączymy logarytmy iloczynu: $\log 4 + \log 25 = \log (4 \cdot 25)$.
Krok 2. Mnożymy: $4 \cdot 25 = 100$.
Krok 3. Ponieważ $100 = 10^2$, mamy $\log 100 = 2$.
Odpowiedź: $2$.
Zadanie 5, nierówność z podstawą mniejszą od jedności
Rozwiąż nierówność $\log_{\frac{1}{2}} x > 2$.
Krok 1. Dziedzina: $x > 0$.
Krok 2. Zapisujemy $2 = \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{4}$, bo $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$.
Krok 3. Funkcja logarytmiczna o podstawie z przedziału $(0, 1)$ jest malejąca, więc nierówność $\log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{4}$ zmienia kierunek na $x < \dfrac{1}{4}$.
Krok 4. Uwzględniamy dziedzinę $x > 0$.
Odpowiedź: $x \in \left(0, \dfrac{1}{4}\right)$. Kontrola: dla $x = \dfrac{1}{8}$ mamy $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{8} = 3 > 2$, więc liczba z przedziału spełnia nierówność.
Typowe błędy w zadaniach z logarytmami
Logarytm sumy to nie suma logarytmów
Najgroźniejsza pomyłka to zapisanie $\log (a + b) = \log a + \log b$. Taka równość jest fałszywa. Na przykład $\log (4 + 6) = \log 10 = 1$, ale $\log 4 + \log 6 = \log 24$, a to inna liczba. Wzór na sumę działa tylko wtedy, gdy logarytmujesz iloczyn. Zawsze patrz, czy pod logarytmem jest iloczyn, iloraz czy suma, zanim sięgniesz po własność.
Pominięta dziedzina i pozorne rozwiązania
W zadaniu 3 przekształcenie dało dwa pierwiastki, ale tylko jeden spełniał warunek $x > 1$. Gdyby dziedzina nie została zapisana na początku, łatwo pozostawić oba rozwiązania i stracić punkt. Zasada jest prosta. Po rozwiązaniu równania logarytmicznego sprawdź każdy pierwiastek w dziedzinie albo w równaniu wyjściowym.
Zła zmiana kierunku nierówności
Przy podstawie większej od jedności znak nierówności zostaje, a przy podstawie z przedziału $(0, 1)$ zmienia się na przeciwny. W zadaniu 5 pominięcie tego kroku dałoby $x > \dfrac{1}{4}$, czyli przeciwną odpowiedź. Jeśli masz wątpliwość, podstaw jedną liczbę z wyniku i sprawdź.
Wyniesienie potęgi bez nawiasów
Wzór $\log_a x^n = n \log_a x$ dotyczy potęgi całego wyrażenia. Zapis $\log_a x^n$ zwykle oznacza $\log_a (x^n)$, ale $(\log_a x)^n$ to zupełnie co innego. Uczniowie czasem mieszają oba zapisy, szczególnie przy przepisywaniu rozwiązania z brudnopisu.
Zapominanie o podstawie
W zadaniach z kilkoma logarytmami łatwo przeoczyć, że podstawy są różne, i zastosować wzór na sumę tam, gdzie wymaga on wspólnej podstawy. Przed każdym łączeniem logarytmów sprawdź, czy mają tę samą podstawę. Jeśli nie, użyj zmiany podstawy.
Jak ćwiczyć logarytmy bez powtarzania tych samych pomyłek
Zapisuj błąd razem z regułą
Gdy zrobisz błąd, zapisz jedno zdanie: co pomyliłeś i która reguła jest poprawna. Po kilku tygodniach z takich zdań powstaje własna ściągawka, która pasuje do Twoich nawyków, a nie do cudzych. Powtarzaj zadania tego samego typu po kilku dniach, ale ze zmienionymi liczbami.
Korepetytor AI wskazuje błędny krok
W InstytutMatematyki wpisujesz treść zadania i własne rozwiązanie, a korepetytor AI sprawdza je krok po kroku. Jeśli pomylisz logarytm sumy z sumą logarytmów albo pominiesz dziedzinę, zobaczysz dokładnie ten wiersz i krótkie wyjaśnienie reguły. Potem dostajesz podobne zadanie do przećwiczenia. Zobacz, jak działa sprawdzanie rozwiązań zadań, oraz kurs maturalny z matematyki z planem do daty egzaminu. Przy rozszerzeniu logarytmy pojawiają się razem z parametrami, więc przyda się też przygotowanie do matury rozszerzonej.
Ostatnia aktualizacja
Ostatnia aktualizacja wpisu: 28.10.2026.
Sprawdź swoje rozwiązanie z logarytmami
Jedno demo bez karty
Na stronie głównej wpisz zadanie z logarytmami i swoje rozwiązanie, a zobaczysz, jak działają korepetycje z matematyki online ze wskazaniem błędnego kroku. Demo jest jednorazowe i nie wymaga karty. Stała nauka wymaga abonamentu. Plan Matura i Egzamin kosztuje 299 zł netto miesięcznie plus 23 procent VAT, a przy płatności rocznej 149,50 zł netto miesięcznie. Mniej niż trzy godziny korepetycji miesięcznie.