Metoda w trzech krokach
Miejsca zerowe, parabola, odczyt
Dla nierówności $ax^2 + bx + c > 0$ albo $< 0$ najpierw szukasz miejsc zerowych trójmianu. Potem rysujesz szkic paraboli: ramiona w górę dla $a > 0$, w dół dla $a < 0$. Na końcu odczytujesz z wykresu, gdzie wartości są dodatnie, a gdzie ujemne.
Dla $a > 0$ wartości ujemne leżą między miejscami zerowymi, a dodatnie na zewnątrz. Dla $a < 0$ jest odwrotnie. Zapamiętaj to jako obraz, a nie jako regułę do wkucia.
Wyróżnik i trzy przypadki
Gdy $\Delta > 0$, są dwa miejsca zerowe i dwa przedziały o różnych znakach. Gdy $\Delta = 0$, parabola dotyka osi w jednym punkcie i wartości mają ten sam znak wszędzie poza nim. Gdy $\Delta < 0$, parabola nie przecina osi, więc trójmian ma jeden znak na całej prostej. Ten ostatni przypadek jest podstawą zadań z parametrem.
Pięć zadań z pełnym rozwiązaniem
Zadanie 1, przedział między miejscami zerowymi
Rozwiąż nierówność $x^2 - 5x + 6 < 0$.
Rozkładamy trójmian: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, więc miejsca zerowe to $2$ i $3$. Ramiona paraboli są skierowane w górę, a szukamy wartości ujemnych, czyli części pod osią, między miejscami zerowymi.
Odpowiedź: $x \in (2, 3)$. Kontrola punktem $x = 2{,}5$ daje $6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 < 0$.
Zadanie 2, ujemny współczynnik przy x kwadrat
Rozwiąż nierówność $-x^2 + 4x + 5 \geq 0$.
Wariant A, bez dzielenia. Wyróżnik wynosi $\Delta = 16 + 20 = 36$, więc $x = \frac{-4 \pm 6}{-2}$, czyli $x = -1$ lub $x = 5$. Ramiona skierowane są w dół, a szukamy wartości nieujemnych, czyli części nad osią i na niej, między miejscami zerowymi. Dostajemy $x \in \langle -1, 5 \rangle$.
Wariant B, z dzieleniem. Mnożymy obie strony przez $-1$ i odwracamy znak, co daje $x^2 - 4x - 5 \leq 0$, czyli $(x - 5)(x + 1) \leq 0$ i ten sam przedział $\langle -1, 5 \rangle$.
Błąd, który tu się zdarza, to pozostawienie znaku $\geq$ po pomnożeniu przez $-1$. Wtedy odpowiedź wychodzi $(-\infty, -1\rangle \cup \langle 5, +\infty)$, czyli zbiór odwrotny do prawidłowego.
Zadanie 3, przedziały na zewnątrz
Rozwiąż nierówność $2x^2 - x - 3 > 0$.
Wyróżnik to $\Delta = 1 + 24 = 25$, więc $x = \frac{1 \pm 5}{4}$, czyli $x = \frac{3}{2}$ lub $x = -1$. Ramiona skierowane są w górę, a szukamy wartości dodatnich, czyli części na zewnątrz miejsc zerowych.
Odpowiedź: $x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$. Kontrola punktem $x = 0$ daje $-3 < 0$, czyli punkt leży w przedziale wykluczonym, jak powinien.
Zadanie 4, nierówność niepełna i dzielenie przez x
Rozwiąż nierówność $x^2 > 4x$.
Nie dzielimy przez $x$, bo nie znamy jego znaku. Przenosimy wszystko na jedną stronę: $x^2 - 4x > 0$, czyli $x(x - 4) > 0$. Miejsca zerowe to $\,0$ i $4$, ramiona w górę, szukamy dodatnich wartości, więc przedziały zewnętrzne.
Odpowiedź: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$. Dzielenie przez $x$ dałoby $x > 4$ i zgubiłoby wszystkie liczby ujemne, bo dla $x = -1$ mamy $1 > -4$, więc nierówność jest tam spełniona.
Zadanie 5, parametr i wyróżnik
Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $x^2 - 2mx + m + 2 > 0$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x$?
Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona w górę. Trójmian jest dodatni dla wszystkich $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma miejsc zerowych, czyli $\Delta < 0$. Wyróżnik to $\Delta = 4m^2 - 4(m + 2) = 4(m^2 - m - 2)$.
Warunek $m^2 - m - 2 < 0$ zapisujemy jako $(m - 2)(m + 1) < 0$, więc $m \in (-1, 2)$. Sprawdzenie granic: dla $m = 2$ trójmian to $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$, który w punkcie $x = 2$ jest równy zero, więc nie spełnia warunku ostrej nierówności. Dla $m = 0$ mamy $x^2 + 2 > 0$, co się zgadza.
Najczęstszy błąd przy znaku
Sytuacje, w których znak się myli
- Dzielenie albo mnożenie przez liczbę ujemną bez odwrócenia nierówności, jak w wariancie B zadania 2.
- Wybór przedziału "między" zamiast "na zewnątrz" albo odwrotnie, bo nie powstał szkic paraboli z kierunkiem ramion.
- Pomylenie znaku we wzorze na miejsca zerowe, gdy zamiast $-b$ wstawiono $b$, co zamienia oba pierwiastki na liczby przeciwne.
- Dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, jak w zadaniu 4, które gubi całą połowę rozwiązań.
- Zapis końców przedziału jako domkniętych przy nierówności ostrej i odwrotnie.
Nawyk, który kosztuje dziesięć sekund
Po każdym rozwiązaniu wybierz jedną liczbę z odczytanego przedziału i jedną spoza niego, wstaw je do wyjściowej nierówności i sprawdź, czy wynik zgadza się ze znakiem. Gdy odpowiedź jest zbiorem odwrotnym do właściwego, jedno podstawienie to natychmiast wyłapuje. Zadania z parametrem wymagają dodatkowo osobnego sprawdzenia przypadków brzegowych, takich jak $\Delta = 0$.
Gdzie dalej
Kolejne działy i plan do matury
Nierówności kwadratowe łączą się z równaniami, funkcją kwadratową i zadaniami z parametrem. Powtórz najpierw wpis o równaniach i nierównościach na maturze, potem przejdź do zadań z ciągami, w których parametr też prowadzi do trójmianu. Plan tygodni, z zadaniami dobranymi do Twoich błędów, układa kurs maturalny z matematyki.
Dla uczniów liceum, którzy pracują nad szkolnymi sprawdzianami, przygotowaliśmy stronę o korepetycjach z matematyki w liceum.
Sprawdzanie znaku w Twoim rozwiązaniu
W sprawdzaniu rozwiązań wpisujesz własny zapis, a korepetytor AI wskazuje krok, w którym odwrócenie znaku zostało pominięte albo przedział wybrany niewłaściwie. Dostajesz wyjaśnienie reguły i podobne zadanie, które sprawdza, czy błąd rzeczywiście zniknął.