Jak korzystać ze zbioru zadań
Rozwiązuj najpierw, czytaj rozwiązanie potem
Największy błąd przy pracy ze zbiorem to podglądanie rozwiązania po minucie namysłu. Wtedy zadanie wydaje się proste, bo widzisz gotowy tok, ale umiejętność samodzielnego startu nie rośnie. Zasada jest jedna. Zapisz pełne rozwiązanie na kartce, nawet jeśli utkniesz w połowie, i dopiero potem porównaj je z wzorcem krok po kroku. Różnica między Twoim zapisem a wzorcem pokazuje, czego dokładnie brakuje.
Grupuj zadania według typów
Zbiór jest wartościowy, gdy pozwala ćwiczyć jeden typ zadania kilka razy z rzędu, a potem mieszać typy. Dla matury podstawowej do najczęściej ćwiczonych należą nierówności kwadratowe, ciągi, planimetria i układy równań. Poniżej wybieramy po jednym zadaniu z każdej grupy. Wszystkie są nasze własne i nie pochodzą z arkuszy ani z cudzych zbiorów.
Cztery typy zadań z rozwiązaniem
Zadanie 1, nierówność kwadratowa
Rozwiąż nierówność $x^2 - 4x - 5 \le 0$.
Krok 1. Szukamy miejsc zerowych trójmianu: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$, więc $\sqrt{\Delta} = 6$.
Krok 2. Obliczamy $x_1 = \dfrac{4 - 6}{2} = -1$ oraz $x_2 = \dfrac{4 + 6}{2} = 5$.
Krok 3. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i wartości niedodatnie przyjmuje między miejscami zerowymi.
Krok 4. Ponieważ nierówność jest nieostra, końce przedziału należą do zbioru rozwiązań.
Odpowiedź: $x \in \langle -1, 5 \rangle$. Kontrola dla $x = 0$: $\,0 - 0 - 5 = -5 \le 0$, więc środek przedziału spełnia nierówność.
Zadanie 2, ciąg arytmetyczny
Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym $a_1 = 3$ oraz różnica $r = 4$. Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów.
Krok 1. Zapisujemy wzór na wyraz ogólny: $a_n = a_1 + (n - 1) r$.
Krok 2. Obliczamy dwudziesty wyraz: $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$.
Krok 3. Stosujemy wzór na sumę: $S_{20} = \dfrac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \dfrac{3 + 79}{2} \cdot 20 = 41 \cdot 20 = 820$.
Odpowiedź: $S_{20} = 820$. Częsty błąd to wstawienie do wzoru $20 \cdot r$ zamiast $19 \cdot r$, bo między pierwszym a dwudziestym wyrazem jest dziewiętnaście kroków.
Zadanie 3, trójkąt prostokątny i okręgi
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $6$ i $8$. Oblicz promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Krok 1. Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
Krok 2. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej, więc $R = \dfrac{c}{2} = 5$.
Krok 3. Dla trójkąta prostokątnego promień okręgu wpisanego wynosi $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = 2$.
Krok 4. Kontrola przez pole: pole trójkąta to $\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$, a pole wyrażone przez promień wpisany to $r \cdot p$, gdzie półobwód $p = \dfrac{6 + 8 + 10}{2} = 12$. Mamy $2 \cdot 12 = 24$, zgadza się.
Odpowiedź: $R = 5$ i $r = 2$.
Zadanie 4, układ równań
Liczby $x$ i $y$ spełniają układ $x + y = 7$ oraz $xy = 12$. Wyznacz te liczby.
Krok 1. Z pierwszego równania wyznaczamy $y = 7 - x$.
Krok 2. Podstawiamy do drugiego: $x(7 - x) = 12$, czyli $7x - x^2 = 12$, a po przekształceniu $x^2 - 7x + 12 = 0$.
Krok 3. Wyróżnik wynosi $\Delta = 49 - 48 = 1$, więc $x_1 = \dfrac{7 - 1}{2} = 3$ oraz $x_2 = \dfrac{7 + 1}{2} = 4$.
Krok 4. Dla $x = 3$ mamy $y = 4$, a dla $x = 4$ mamy $y = 3$.
Odpowiedź: $(x, y) = (3, 4)$ lub $(x, y) = (4, 3)$. Sprawdzenie: $3 + 4 = 7$ oraz $3 \cdot 4 = 12$.
Czego brakuje w typowym zbiorze zadań
Zbiór nie widzi Twojego błędu
Papierowy zbiór ma wzorcowe rozwiązanie, ale nie wie, co zapisałeś Ty. Gdy wynik się nie zgadza, nadal nie wiesz, czy pomyliłeś znak, wzór czy sposób rozumowania. Dobry korepetytor zagląda w zeszyt i wskazuje palcem konkretny wiersz. Bez tego zbiór zamienia się w listę zadań, które trzeba rozwiązać jeszcze raz w nadziei, że wyjdzie.
Co zrobić z błędem po porównaniu
Po sprawdzeniu zadania wykonaj trzy czynności.
- Zaznacz w swoim zapisie pierwszy krok, który różni się od wzorca.
- Nazwij regułę albo wzór, którego zabrakło, i zapisz je własnymi słowami.
- Rozwiąż jeszcze raz podobne zadanie ze zmienionymi liczbami.
Zmiana liczb jest ważna. Jeśli rozwiążesz identyczne zadanie, ćwiczysz pamięć odpowiedzi, a nie metodę.
Własne rozwiązania sprawdzane krok po kroku
Korepetytor AI analizuje Twój zapis
W InstytutMatematyki nie dostajesz gotowca do przepisania. Wpisujesz treść zadania i swoje rozwiązanie, a korepetytor AI czyta je krok po kroku, wskazuje błędny krok, objaśnia regułę i proponuje podobne zadanie. Dzięki temu zbiór staje się materiałem do pracy, a nie tylko do odhaczania. Zobacz, jak działa sprawdzanie rozwiązań zadań, także w przypadku nietypowego zapisu.
Plan nauki do egzaminu
Samo rozwiązywanie zadań nie wystarczy bez kolejności i terminów. Kurs maturalny z matematyki układa powtórki do daty matury, a historia błędów pokazuje działy do poprawy. Jeśli zdajesz rozszerzenie, sprawdź przygotowanie do matury rozszerzonej z matematyki, gdzie pojawiają się parametry, dowody i rachunek różniczkowy.
Ostatnia aktualizacja
Ostatnia aktualizacja wpisu: 28.10.2026.
Przetestuj swoje rozwiązanie
Jedno demo bez karty
Wejdź na stronę główną i sprawdź swoje rozwiązanie w demo na przykładzie korepetycji z matematyki online. Demo jest jednorazowe, nie wymaga karty i pokazuje diagnozę pierwszego błędu. Stała nauka z planem, historią błędów i tygodniowym raportem dla rodzica wymaga abonamentu. Plan Matura i Egzamin kosztuje 299 zł netto miesięcznie plus 23 procent VAT, a przy płatności rocznej 149,50 zł netto miesięcznie. Mniej niż trzy godziny korepetycji miesięcznie.